Varianz Rechner
Dateneingabe
Geben Sie Datenwerte ein, um Ergebnisse zu sehen
A variance calculator is a tool (online or built into software) that automatically computes the variance of a data set for you — so you don't have to manually calculate the mean, find deviations, square them, and average them yourself.
What you typically input:
- • A list of numbers (e.g., 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)
What it outputs:
- • The mean
- • The variance (often both population and sample variance, since they differ slightly)
- • Usually the standard deviation too, since it's directly derived from variance
Varianzformel
Verstehen Sie die Mathematik hinter den Varianzberechnungen.
Interaktiv: Bewegen Sie den Mauszeiger über ein beliebiges Symbol in der Formel oder tippen Sie darauf, um zu sehen, was es darstellt.
Verwendet n − 1 (Bessel-Korrektur) für eine unvoreingenommene Varianzschätzung aus Stichprobendaten. Diese Anpassung berücksichtigt Freiheitsgrade, wenn der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit unbekannt ist.
Direkte Division durch n. Es ist keine Korrektur erforderlich, da der Populationsmittelwert (μ) der wahre Mittelwert der gesamten Population ist.
Wie Daten durch die Formel fließen
Populationsvarianz- und Stichprobenvarianzrechner
Populationsvarianz und Stichprobenvarianz unterscheiden sich an einer Stelle: dem Divisor. Die Populationsvarianz dividiert die Summe der quadrierten Differenzen durch n (Gesamtzahl). Die Stichprobenvarianz wird durch n − 1 – Bessel-Korrektur – geteilt, um aus den Stichprobendaten eine unvoreingenommene Varianzschätzung zu erstellen. Diese Korrektur ist bei kleinen Stichproben am wichtigsten. Bei großen Datensätzen verringert sich der Unterschied.
- Verwendet jeden Datenpunkt in der gesamten Grundgesamtheit
- Dividiert die Quadratsumme durch n
- Mittelwertsymbol: μ (mu) – der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit
- Wird in Volkszählungsdaten, vollständigen Datensätzen und zur Qualitätskontrolle verwendet
- Verwendet eine Teilmenge von Stichprobendaten aus der Grundgesamtheit
- Dividiert die Quadratsumme durch n − 1 (Freiheitsgrade)
- Mittelwertsymbol: x̄ (x-bar) – geschätzter Mittelwert
- Wird in Umfragen, experimentellem Design und klinischen Studien verwendet
So berechnen Sie die Varianz
Die Varianz misst, wie weit jede Zahl in einem Datensatz vom Mittelwert entfernt ist. Dies sind die Schritte zur Varianzberechnung.
Um die Varianz zu berechnen, ermitteln Sie den Durchschnitt der quadrierten Differenzen vom Mittelwert. Der Vorgang ist für die Populationsvarianz und die Stichprobenvarianz derselbe – der einzige Unterschied besteht darin, ob Sie am Ende durch n oder n − 1 dividieren. Diese statistische Varianzberechnung funktioniert für jeden Datensatz, von der Umfrageanalyse bis zur Auswahl von Funktionen für maschinelles Lernen.
Probieren Sie es aus: Geben Sie Zahlen ein und beobachten Sie jeden Schritt
Geben Sie 3–8 durch Kommas getrennte Zahlen ein. Mit den folgenden Schritten berechnen Sie die Varianz Ihrer Daten in Echtzeit.
Finden Sie den Mittelwert (Durchschnitt)
Addieren Sie alle Werte im Datensatz und dividieren Sie durch die Anzahl. Für [4, 8, 6, 5, 3] beträgt der Mittelwert (4+8+6+5+3) ÷ 5 = 5,2. Dieser Mittelwert ist der Mittelpunkt jeder Varianzberechnung.
Subtrahieren Sie den Mittelwert, um Abweichungen zu erhalten
Subtrahieren Sie den Mittelwert von jeder Zahl, um die Abweichung zu ermitteln. Negative Abweichungen bedeuten, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt; positive Werte sind oben. Die Summe der Abweichungen beträgt immer 0.
Quadrieren Sie jede Abweichung
Quadrieren Sie jede Abweichung, um sie positiv zu machen. Dadurch wird sichergestellt, dass Abweichungen unter und über dem Mittelwert sich nicht gegenseitig aufheben. Durch die Quadrierung werden auch Ausreißer stärker gewichtet.
Summieren Sie die quadrierten Abweichungen
Addieren Sie alle quadrierten Abweichungen. Diese Summe wird Quadratsumme (SS) genannt. Für unsere Daten beträgt es 1,44 + 7,84 + 0,64 + 0,04 + 4,84 = 14,8.
Teilen, um Varianz zu erhalten
Teilen Sie die Quadratsumme durch N (für die Grundgesamtheit) oder n − 1 (für die Stichprobe). Für die Stichprobenvarianz dividieren wir 14,8 durch 4, um 3,7 zu erhalten. Für die Populationsvarianz dividieren wir durch 5, um 2,96 zu erhalten.
Schritt-für-Schritt-Varianzbeispiel
Berechnen wir die Varianz eines Beispieldatensatzes: 4, 8, 6, 5, 3.
Betrachten Sie den Datensatz: 4, 8, 6, 5, 3, 7, 2, 9. Wir berechnen sowohl die Stichprobenvarianz (s²) als auch die Populationsvarianz (σ²) für diese 8 Werte. Sehen Sie sich das Balkendiagramm unten an – es zeigt jeden Datenpunkt, die Mittellinie und die quadratischen Abweichungen, während Sie durch die einzelnen Schritte scrollen.
Der Mittelwert ist die Mitte des Datensatzes – jede Abweichung wird von diesem Punkt aus gemessen. Im Balkendiagramm oben markiert die gestrichelte Linie x̄ = 5,5.
| xᵢ | Abweichung (x − x̄) | Quadratische Abweichung (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | −1.5 | 2.25 |
| 8 | 2.5 | 6.25 |
| 6 | 0.5 | 0.25 |
| 5 | −0.5 | 0.25 |
| 3 | −2.5 | 6.25 |
| 7 | 1.5 | 2.25 |
| 2 | −3.5 | 12.25 |
| 9 | 3.5 | 12.25 |
Jede Zeile zeigt einen Datenpunkt, seine Abweichung vom Mittelwert und die quadratische Abweichung. Beachten Sie, dass Werte, die weit von x̄ entfernt sind (wie 2 und 9), viel größere quadratische Unterschiede erzeugen.
Diese Quadratsumme (42) stellt den gesamten quadratischen Abstand aller Datenpunkte vom Mittelwert dar. Es ist der Zähler in beiden Varianzformeln.
So berechnen Sie die Varianz manuell
Befolgen Sie diese Checklistenschritte, um die Varianz manuell ohne Taschenrechner zu berechnen.
Befolgen Sie diese Checklistenschritte, um die Varianz manuell ohne Taschenrechner zu berechnen.
Schritt 1 Notieren Sie Ihren Datensatz
Listen Sie alle Zahlen übersichtlich auf. Zählen Sie, wie viele Werte Sie haben (n).
Schritt 2 Berechnen Sie das arithmetische Mittel
Addiere alle Zahlen und dividiere durch n. Beachten Sie diesen Wert.
Schritt 3 Subtrahieren Sie den Mittelwert von jeder Zahl
Subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem Rohwert. Einige werden negativ sein.
Schritt 4 Quadrieren Sie jede der Differenzen
Multiplizieren Sie jede Differenz mit sich selbst. Alle Werte müssen positiv sein.
Schritt 5 Addiere alle quadrierten Werte
Summieren Sie die quadrierten Differenzen. Das ist Ihre Quadratsumme.
Schritt 6 Teilen Sie durch n − 1 (Stichprobe) oder n (Bevölkerung)
Dieser letzte Schritt gibt Ihnen die Varianz.
Berechnung der Gesamtpopulationsvarianz
Wenn der Datensatz jedes Mitglied der Gruppe umfasst, verwenden Sie die Populationsvarianz – dividieren Sie durch n, nicht durch n − 1.
Populationsvarianz gilt, wenn Ihr Datensatz jede Beobachtung aus der gesamten Population enthält – keine Stichprobe. Beispiele: alle Mitarbeiter eines Unternehmens, jedes Testergebnis einer Klasse, alle Produkte einer Charge bei der Qualitätskontrolle. Die Formel verwendet μ (den wahren Bevölkerungsmittelwert) und dividiert durch n (die vollständige Anzahl). Keine Bessel-Korrektur. Keine Anpassung der Freiheitsgrade.
Interaktiv: Wie sich die Stichprobengröße auf die Varianz auswirkt
Ziehen Sie den Schieberegler, um zu sehen, wie sich der Unterschied zwischen σ² und s² mit der Bevölkerungsgröße ändert. Bei kleinem n ist die Lücke groß. Wenn n wächst, konvergiert die Stichprobenvarianz zur Populationsvarianz.
Konvergenz: s² nähert sich σ², wenn n wächst
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Häufig Gestellte Fragen
Alles, was Sie über Varianz wissen müssen.
Was ist die Varianz von 6 7 5 9 12 15?
Die Varianz von 6, 7, 5, 9, 12, 15 wird wie folgt berechnet. Mittelwert = (6+7+5+9+12+15) / 6 = 9. Quadrierte Abweichungen vom Mittelwert: (6−9)²=9, (7−9)²=4, (5−9)²=16, (9−9)²=0, (12−9)²=9, (15−9)²=36. Summe der Quadrate = 74. Populationsvarianz (σ²) = 74 / 6 ≈ 12,33. Stichprobenvarianz (s²) = 74 / 5 = 14,8. Verwenden Sie die Populationsvarianz, wenn diese 6 Zahlen der gesamte Datensatz sind.