Дисперсия Калкулатор

Въвеждане на Данни

Разделяйте стойностите с запетаи, интервали, табулатори или нови редове
0 въведени стойности

Въведете стойности на данните, за да видите резултатите

A variance calculator is a tool (online or built into software) that automatically computes the variance of a data set for you — so you don't have to manually calculate the mean, find deviations, square them, and average them yourself.

What you typically input:

  • • A list of numbers (e.g., 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)

What it outputs:

  • • The mean
  • • The variance (often both population and sample variance, since they differ slightly)
  • • Usually the standard deviation too, since it's directly derived from variance

Формула за дисперсия

Разберете математиката зад изчисленията на дисперсия.

Интерактивно: Задръжте курсора на мишката над или докоснете произволен символ във формулата, за да видите какво представлява.

= ( − ) / −
Щракнете върху произволен символ във формулата по-горе, за да видите неговата роля в уравнени��то на дисперсията.
Пример Примерна формула за дисперсия
s² = Σ ( xᵢ − x̄ ) ² / ( n − 1 )

Използва n − 1 (корекция на Бесел) за безпристрастна оценка на дисперсията от извадкови данни. Тази корекция отчита степените на свобода, когато истинската средна популация е неизвестна.

Население Формула за дисперсия на популацията
σ² = Σ ( xᵢ − μ ) ² / n

Дели се нандиректно. Не е необходима корекция, тъй като средната стойност на съвкупността (μ) е истинската средна стойност на цялата съвкупност.

Как данните преминават през формулата

🔢 Данни Сурови числа
→
⚖️ Средно Балансова точка
→
↔️ Отклонения xᵢ − mean
→
⬛ На квадрат (xᵢ − mean)²
→
✅ Дисперсия σ² or s²
Единствената разлика: дисперсията на съвкупността се дели на n, дисперсията на извадката се дели на n − 1. Всичко останало в уравнението на дисперсията е идентично. Корекцията n − 1 има най-голямо значение при малки размери на извадката — за много големи извадки разликата между вариацията на популацията и вариацията на извадката става незначителна. Софтуер като Excel, R, Python, SPSS и Google Sheets използват същите тези формули.
Популация спрямо извадка

Population Variance and Sample Variance Calculator

Population variance and sample variance differ in one place: the divisor. Population variance divides the sum of squared differences by n (total count). Sample variance divides by n − 1 — Bessel's correction — to produce an unbiased variance estimate from sampled data. Тази корекция има най-голямо значение при малки проби. За големи масиви от данни разликата намалява.

Цялата популация (N) Проба (n)
20 от 20 използвани точки от данни
Население
σ² = Σ(xᵢ − μ)² / n
Дели се на n, защото имате всяка точка от данни в цялата съвкупност. Средната стойност (μ) е точна — не е необходима корекция.
σ² Вариация на населението
  • Използва всяка точка от данни в цялата популация
  • Дели сбора на квадратите на n
  • Среден символ: μ (mu) — истинската средна стойност на съвкупността
  • Използва се в данни от преброяване, пълни набори от данни, контрол на качеството
s² Sample Variance
  • Използва подмножество от извадкови данни от популацията
  • Дели сбора на квадратите на n − 1 (степени на свобода)
  • Среден символ: x̄ (x-лента) — прогнозна средна стойност
  • Използва се в проучвания, експериментален дизайн, клинични изпитвания
Метод

Как да изчислим дисперсията

Дисперсията измерва доколко всяко число в набор от данни се намира от средната стойност. Това са стъпките за изчисляване на дисперсията.

За да изчислите дисперсията, намерете средната стойност на разликите на квадрат от средната стойност. Процесът е един и същ за дисперсията на популацията и дисперсията на извадката — единствената разлика е дали разделяте на n или на n − 1 в края. Това изчисление на статистическата дисперсия работи за всеки набор от данни, от анализ на анкета до избор на функция за машинно обучение.

Опитайте: Въведете числа и наблюдавайте всяка стъпка

Въведете 3–8 числа, разделени със запетаи. Стъпките по-долу ще изчислят дисперсията с вашите данни в реално време.

1

Намерете средното (средно)

Добавете всички стойности в набора от данни и разделете на броя. За [4, 8, 6, 5, 3] средната стойност е (4+8+6+5+3) ÷ 5 = 5,2. Тази средна стойност е централната точка за всяко изчисление на дисперсията.

x̄ = Σxᵢ / n
0 3 4 5 6 8 x̄ = 5.2
2

Извадете средното, за да получите отклонения

Извадете средната стойност от всяко число, за да намерите неговото отклонение. Отрицателните отклонения означават, че стойността е под средната; положителните стойности са по-горе. Сумата на отклоненията винаги е равна на 0.

dᵢ = xᵢ − x̄
3

Квадратирайте всяко отклонение

Квадратирайте всяко отклонение, за да го направите положително. Това гарантира, че отклоненията под и над средната стойност няма да се компенсират взаимно. Поставянето на квадрат също придава по-голяма тежест на отклоненията.

(xᵢ − x̄)²
4

Сумирайте отклоненията на квадрат

Добавете всички квадратни отклонения заедно. Тази сума се нарича сбор от квадрати (SS). За нашите данни това е 1,44 + 7,84 + 0,64 + 0,04 + 4,84 = 14,8.

Σ(xᵢ − x̄)²
5

Разделете, за да получите дисперсия

Разделете сумата от квадрати на N (за популация) или n − 1 (за извадка). За примерна ��исперсия, разделяме 14,8 на 4, за да получим 3,7. За дисперсия на населението, ние разделяме на 5, за да получим 2,96.

σ² = 14.8 / 5 = 2.96 s² = 14.8 / 4 = 3.70
Работен пример

Пример за отклонение стъпка по стъпка

Нека изчислим дисперсията на примерен набор от данни: 4, 8, 6, 5, 3.

Помислете за набора от данни: 4, 8, 6, 5, 3, 7, 2, 9. Ще изчислим дисперсията на извадката (s²) и дисперсията на популацията (σ²) за тези 8 стойности. Гледайте лентовата диаграма по-долу — тя показва всяка точка от данни, средната линия и квадратните отклонения, докато превъртате през всяка стъпка.

0 3 6 9 4 8 6 5 3 7 2 9 x̄ = 5.5
Data Set
4 8 6 5 3 7 2 9
стъпка 1 Стъпка 1: Намерете средната
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 7 + 2 + 9) / 8
Средно (x̄) = (4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 7 + 2 + 9) / 8 = 44 / 8 = 5,5

Средната стойност е центърът на набора от данни - всяко отклонение се измерва от тази точка. В стълбовата диаграма по-горе пунктираната линия отбелязва x̄ = 5,5.

стъпка 2 Стъпка 2: Извадете средната стойност и квадрат
xᵢ Отклонение (x − x̄) Квадратно отклонение (x − x̄)²
4−1.52.25
82.56.25
60.50.25
5−0.50.25
3−2.56.25
71.52.25
2−3.512.25
93.512.25

Всеки ред показва една точка от данни, нейното отклонение от средната стойност и отклонението на квадрат. Забележете как стойности, далеч от x̄ (като 2 и 9), създават много по-големи разлики на квадрат.

стъпка 3 Стъпка 3: Сумиране на квадратните отклонения
Σ(xᵢ − x̄)² = 2.25 + 6.25 + 0.25 + 0.25 + 6.25 + 2.25 + 12.25 + 12.25
Сума от квадрати = 2,25 + 6,25 + 0,25 + 0,25 + 6,25 + 2,25 + 12,25 + 12,25 = 42

Тази сума от квадрати (42) представлява общото квадратно разстояние на всички точки от данни от средната стойност. Това е числителят и в двете формули за дисперсия.

стъпка 4 Стъпка 4: Разделете на n − 1
Дисперсия на популацията (σ²) = 42 / 8 = 5,25
Население σ²
Дисперсия на извадката (s²) = 42 / 7 = 6
Проба s² (Извадка)
Стандартното отклонение е корен квадратен от дисперсията. За този набор от данни: население σ = √5,25 ≈ 2,291, проба s = √6 ≈ 2,449. Стандартното отклонение използва същите единици като оригиналните данни, което го прави по-лесно за тълкуване от дисперсията. Можете да изчислите дисперсията и стандартното отклонение заедно в Excel, като използвате функциите VAR.S (проба) и VAR.P (популация) или в Google Таблици, R, Python и SPSS.
Ръководство

Как да изчислим дисперсията на ръка

Следвайте тези стъпки от контролния списък, за да изчислите дисперсията ръчно без калкулатор.

Следвайте тези стъпки от контролния списък, за да изчислите дисперсията ръчно без калкулатор.

Scratch Pad
Data: {3, 7, 5, 9, 1}
n = 5
Sum = 3+7+5+9+1 = 25
Mean = 25 ÷ 5 = 5
Deviations: −2, 2, 0, 4, −4
Squared: 4, 4, 0, 16, 16
Sum of squares = 40
σ² = 40/5 = 8   s² = 40/4 = 10
стъпка 1 Запишете своя набор от данни

Избройте ясно всички числа. Пребройте колко стойности имате (n).

Example: Data set = {3, 7, 5, 9, 1} → n = 5
стъпка 2 Изчислете средноаритметичната

Съберете всички числа и разделете на n. Обърнете внимание на тази стойност.

Sum = 3 + 7 + 5 + 9 + 1 = 25. Mean = 25 ÷ 5 = 5.
стъпка 3 Извадете средната стойност от всяко число

Извадете средната стойност от всяка сурова стойност. Някои ще бъдат отрицателни.

3−5 = −2, 7−5 = 2, 5−5 = 0, 9−5 = 4, 1−5 = −4
стъпка 4 Квадратирайте всяка от разликите

Умножете всяка разлика сама по себе си. Всички стойности трябва да са положителни.

(−2)² = 4, 2² = 4, 0² = 0, 4² = 16, (−4)² = 16
стъпка 5 Добавете всички стойности на квадрат

Сумирайте разликите на квадрат. Това е вашият сбор от квадрати.

Sum of Squares = 4 + 4 + 0 + 16 + 16 = 40
стъпка 6 Разделете на n − 1 (извадка) или n (популация)

Тази последна стъпка ви дава вариацията.

σ² = 40 ÷ 5 = 8 (Population)  |  s² = 40 ÷ 4 = 10 (Sample)
Съвет: Стандартното отклонение е просто корен квадратен от дисперсията, която сте изчислили в последната стъпка.
Пълно население

Изчисляване на дисперсията на цялата популация

Когато наборът от данни включва всеки член на групата, използвайте вариация на популацията — разделете на n, а не на n − 1.

Дисперсията на популацията се прилага, когато вашият набор от данни включва всяко наблюдение от цялата популация — не извадка. Примери: всички служители в една компания, всеки резултат от теста в клас, всички продукти в партида по време на контрол на качеството. Формулата използва μ (истинската средна стойност на съвкупността) и дели на n (пълния брой). Без корекция на Бесел. Без регулиране на степените на свобода.

Интерактивно: Как размерът на извадката влияе върху дисперсията

Плъзнете плъзгача, за да видите как разликата между σ² и s² се променя с размера на населението. При малко n празнината е голяма. С нарастването на n дисперсията на извадката се сближава към дисперсията на популацията.

Размер на поп��лацията (n): 5
3 100
Население σ²
Сума от квадрати / 5
—
Проба s²
Сума от квадрати / 4
—
Разлика
s² − σ²
—

Конвергенция: s² се доближава до σ² с нарастването на n

% n 0% 50% 100% 3 25 50 75 100
At n = 5, sample variance is 25% larger than population variance
Calculator Tools

Разгледайте нашия пълен набор от калкулатори

13 specialized statistical calculators — each with personalized step-by-step solutions, formulas, and FAQs. Изберете инструмента, който отговаря на вашия проблем.

Дисперсия Калкулатор σ SD x̄ Mean σ+s² SD+Var ∑ Solver s² Sample 🔍 Finder σ² Pop. CV Coeff. CV Var. % % Var %² Pct. sp² Pooled ♠ Poker
Кликнете, за да отворите →
Основни калкулатори

Стандартно отклонение Калкулатор

Изчислете незабавно стандартното отклонение с решения стъпка по стъпка. Въведете своя набор от данни и вземете SD за поп…

6 ЧЗВ →
Основни калкулатори

Средно Калкулатор

Изчислете мигновено средната (средна) стойност на всеки набор от данни. Вземете средно аритметично, заедно с дисперсия, …

6 ЧЗВ →
Относителни мерки

Коефициент на вариация Калкулатор

Изчислете незабавно коефициента на вариация (CV). Сравнете относителната променливост между набори от данни с различни е…

6 ЧЗВ →
Инструменти за отклонение

Дисперсия Решател

Решете мигновено проблемите с отклоненията с подробни решения стъпка по стъпка. Въведете своя набор от данни и получете …

6 ЧЗВ →
Инструменти за отклонение

Дисперсия на извадката Калкулатор

Изчислете дисперсията на извадката (s²) незабавно с решения стъпка по стъпка. Използва корекцията на Бесел (n−1) за безп…

6 ЧЗВ →
Инструменти за отклонение

Дисперсия Търсач

Намерете незабавно дисперсията на всеки набор от данни. Въведете числа и получете дисперсия на извадка и популация, стан…

6 ЧЗВ →
Инструменти за отклонение

Вариация на населението Калкулатор

Изчислете дисперсията на населението (σ²) незабавно с решения стъпка по стъпка. Дели се на N за точна дисперсия, когато …

6 ЧЗВ →
Специализиран

Покер вариация Калкулатор

Изчислете покер дисперсията и разберете очакваните резултати за произволен брой ръце. Анализирайте вариацията на процент…

6 ЧЗВ →
Относителни мерки

Коефициент на дисперсия Калкулатор

Изчислете незабавно коефициента на дисперсия (CV). Измерете относителната променливост като процент от средната стойност…

6 ЧЗВ →
Относителни мерки

Процентно отклонение Калкулатор

Изчислете процентното отклонение между стойностите или изразете отклонението като процент от средната стойност. Вземете …

6 ЧЗВ →
Относителни мерки

Процентно отклонение Калкулатор

Изчислете незабавно процентното отклонение на вашия набор от данни. Изразете променливостта на данните като процент, кат…

6 ЧЗВ →
Специализиран

Обединена вариация Калкулатор

Изчислете обобщена дисперсия от множество групи или проби. Комбинирайте вариациите на извадката за t-тестове с две извад…

6 ЧЗВ →
Основни калкулатори

Стандартно отклонение и дисперсия Калкулатор

Изчислете незабавно стандартното отклонение и дисперсията. Вземете мерки за популация и проби с решения стъпка по стъпка…

6 ЧЗВ →
FAQ

Често Задавани Въпроси

Всичко, което трябва да знаете за дисперсията.

Каква е дисперсията на 6 7 5 9 12 15?

Дисперсията на 6, 7, 5, 9, 12, 15 се изчислява по следния начин: Средна стойност = (6+7+5+9+12+15) / 6 = 9. Квадратни отклонения от средната стойност: (6−9)²=9, (7−9)²=4, (5−9)²=16, (9−9)²=0, (12−9)²=9, (15−9)²=36. Сума от квадрати = 74. Генерална дисперсия (σ²) = 74 / 6 ≈ 12.33. Извадкова дисперсия (s²) = 74 / 5 = 14.8. Използвайте генералната дисперсия, ако тези 6 числа са целия набор от данни.