A pooled variance calculator combines the variances of two or more independent samples into a single weighted estimate, assuming that the underlying populations share the same variance (homoscedasticity). The pooled variance weights each group's variance by its degrees of freedom (nᵢ − 1), giving more influence to larger samples. This combined estimate is essential in two-sample t-tests, analysis of variance (ANOVA), and meta-analyses where data from multiple independent groups or studies must be merged into one coherent measure of spread.
Formula
Pooled variance uses degrees-of-freedom weighting to combine group variances.
Pooled Variance (Two Groups)
sp² = [(n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²] / (n₁ + n₂ − 2)
sp²Pooled variance
n₁, n₂Sample sizes of Group 1 and Group 2
s₁², s₂²Sample variances of Group 1 and Group 2
Pooled Variance (k Groups)
sp² = Σ[(nᵢ−1)sᵢ²] / Σ(nᵢ−1)
kNumber of groups
nᵢSample size of group i
sᵢ²Sample variance of group i
How to Calculate Pooled Variance Step by Step
Calculate each group's variance.Find s² for every independent sample.
Note sample sizes.Record n for each group.
Compute weighted sum of squares.Multiply each variance by (nᵢ − 1) and sum: Σ[(nᵢ − 1)sᵢ²].
Sum the degrees of freedom.Add up all (nᵢ − 1) values: Σ(nᵢ − 1).
Divide.sp² = Σ[(nᵢ − 1)sᵢ²] / Σ(nᵢ − 1).
Practical Pooled Variance Examples
1Comparing Two Teaching Methods
Data:Method A (n=12, s²=18) | Method B (n=15, s²=22)
Combine variances from multiple groups effortlessly:
Enter all raw data values from each group into the calculator's input field.
The calculator computes individual group variances and the pooled variance automatically.
Review the step-by-step breakdown showing each group's contribution to the pooled estimate.
Use the pooled variance in your t-test, ANOVA, or meta-analysis calculations.
Benefits of Using a Pooled Variance Calculator
Automates a multi-step calculation that is tedious and error-prone by hand.
Correctly weights by degrees of freedom — a step many students forget.
Supports more than two groups, unlike many simple online tools.
Provides the pooled standard deviation as well, ready for t-test denominators.
Shows individual group statistics alongside the combined result for full transparency.
Where Pooled Variance Is Commonly Used
Hypothesis Testing
The pooled t-test requires a pooled variance estimate to compare two group means.
ANOVA
The Mean Square Within (MSW) in ANOVA is exactly the pooled variance across all treatment groups.
Meta-Analysis
Combining results from multiple independent studies uses pooled variance for a unified effect-size estimate.
Clinical Trials
Comparing treatment vs control group outcomes under the assumption of equal variance.
Education Research
Evaluating whether different teaching methods produce different average outcomes.
Assumptions and Limitations of Pooled Variance
Pooled variance is powerful but relies on assumptions. Violating them can invalidate your analysis:
Homogeneity of variances required
If group variances differ substantially (heteroscedasticity), the pooled estimate is unreliable. Test with Levene's test or Bartlett's test before pooling.
Independent samples only
Pooled variance assumes groups are independent. If the same subjects appear in multiple groups (repeated measures), use paired analyses instead.
Sensitive to unequal sample sizes
When one group is much larger, it dominates the pooled estimate. This can mask important differences in the smaller group's variability.
Not suitable for very different means
If group means are far apart, the between-group differences can inflate the overall error estimate. ANOVA handles this by separating between- and within-group variance.
Alternative when assumptions fail
Use Welch's t-test instead — it does not assume equal variances and adjusts degrees of freedom accordingly.
{"standard-deviation-calculator":{"title":"표준편차 계산기","desc":"단계별 솔루션을 통해 즉시 표준 편차를 계산하세요. 데이터 세트를 입력하고 모집단 SD(σ), 표본 SD(들), 분산, 평균 등을 얻으세요. 무료이며 빠르고 정확합니다."},"mean-calculator":{"title":"평균 계산기","desc":"모든 데이터 세트의 평균(평균)을 즉시 계산합니다. 분산, 표준 편차, 중앙값 등과 함께 산술 평균을 구합니다. 무료 단계별 솔루션."},"coefficient-of-variation-calculator":{"title":"변동계수 계산기","desc":"변동계수(CV)를 즉시 계산합니다. 단위나 규모가 다른 데이터 세트 전체의 상대적 변동성을 비교합니다. 분산 및 표준편차가 포함된 무료 단계별 솔루션입니다."},"variance-solver":{"title":"차이 해결사","desc":"상세한 단계별 솔루션을 통해 즉시 분산 문제를 해결하세요. 데이터 세트를 입력하고 표본 분산, 모집단 분산, 표준 편차 및 평균을 얻으세요. 무료 온라인 분산 솔버."},"sample-variance-calculator":{"title":"표본 분산 계산기","desc":"단계별 솔루션을 통해 즉시 샘플 분산(s²)을 계산합니다. 편견 없는 추정을 위해 Bessel의 수정(n−1)을 사용합니다. 표준편차, 평균 등을 알아보세요. 자유롭고 정확합니다."},"variance-finder":{"title":"차이 찾기","desc":"모든 데이터 세트의 분산을 즉시 찾아보세요. 숫자를 입력하고 표본 및 모집단 분산, 표준 편차, 평균 및 단계별 솔루션을 모두 얻으세요. 무료 온라인 분산 찾기 도구."},"population-variance-calculator":{"title":"인구 차이 계산기","desc":"단계별 솔루션을 사용하여 모집단 분산(σ²)을 즉시 계산합니다. 전체 모집단이 있을 때 정확한 분산을 위해 N으로 나눕니다. 무료 온라인 인구 분산 계산기."},"poker-variance-calculator":{"title":"포커 차이 계산기","desc":"포커 차이를 계산하고 여러 핸드에 걸쳐 예상되는 결과를 이해하세요. 포커의 승률 변동, 다운스윙 확률 및 표준 편차를 분석합니다. 무료 도구."},"coefficient-of-variance-calculator":{"title":"분산계수 계산기","desc":"분산계수(CV)를 즉시 계산합니다. 상대 변동성을 평균의 백분율로 측정합니다. CV, 표준 편차, 분산 �� 단계별 솔루션을 얻으세요. 무료 온라인 도구."},"percentage-variance-calculator":{"title":"백분율 차이 계산기","desc":"값 간의 백분율 분산을 계산하거나 분산을 평균의 백분율로 표현합니다. 변동계수, 분산, 표준편차 및 단계별 솔루션을 얻으세요. 무료 도구."},"percent-variance-calculator":{"title":"백분율 차이 계산기","desc":"데이터 세트의 백분율 분산을 즉시 계산합니다. 변동 계수를 사용하여 데이터 변동성을 백분율로 표현합니다. 분산, 표준편차, 평균 및 단계별 솔루션을 얻으세요."},"pooled-variance-calculator":{"title":"합동 분산 계산기","desc":"여러 그룹 또는 표본의 통합 분산을 계산합니다. 2-표본 t-검정, ANOVA 및 메타 분석을 위해 표본 분산을 결합합니다. 단계별 솔루션을 갖춘 무료 온라인 합동 분산 계산기입니다."},"standard-deviation-and-variance-calculator":{"title":"표준편차 및 분산 계산기","desc":"표준편차와 분산을 모두 즉시 계산합니다. 단계별 솔루션, 평균, 범위 및 데이터 시각화를 통해 모집단 및 샘플 측정값을 얻으세요. 무료이며 빠르고 정확합니다."}}
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합동 분산은 두 개 이상의 독립 표본에서 얻은 분산의 가중 평균입니다. 모집단의 분산이 동일하다고 가정합니다(동분산성). 두 그룹의 공식은 sp² = [(n₁−1)s₁² + (n²−1)s²²] / (n₁ + n² − 2)입니다. 이는 더 큰 표본에 더 많은 가중치를 부여하고 합동 t-검정에서 분산 추정값으로 사용됩니다.
합동 분산은 언제 사용합니까?
합동 분산은 다음과 같은 경우에 사용됩니다: 1.2-표본 t-검정을 수행합니다(등분산 가정). 2.ANOVA를 수행하여 여러 그룹의 평균을 비교합니다. 3. 여러 연구(메타 분석)의 결과를 결합합니다. 4. 그룹이 동일한 분포를 갖는 ��집단에서 나온 것으로 간주되는 경우 공통 분산을 추정합니다. 항상 Levene의 검정이나 F-검정을 사용하여 등분산 가정을 먼저 확인하십시오.
통합 분산을 단계별로 계산하는 방법은 무엇입니까?
두 그룹의 경우: 1. 각 그룹(s₁² 및 s²²)의 분산을 계산합니다. 2. 표본 크기(n₁ 및 n²)를 확인하세요. 3. 계산: sp² = [(n₁−1)·s₁² + (n²−1)·s²²] / (n₁ + n² − 2). 예: 그룹 1(n=10, s²=8), 그룹 2(n=15, s²=12): sp² = [(9)(8) + (14)(12)] / 23 = (72 + 168) / 23 = 10.43.
통합 분산과 결합 분산의 차이점은 무엇입니까?
합동 분산은 모집단 분산과 자유도에 따른 가중치가 동일하다고 가정하며 가설 검정에 사용됩니다. 결합 분산은 그룹 간 평균과 분산의 차이를 설명할 수 있는 데이터세트 병합을 가리키는 더 넓은 용어입니다. 두 개의 데이터 세트를 하나로 결합하려면 그룹 내 분산뿐만 아니라 그룹 평균 간의 차이도 고려해야 합니다.
통합 분산에는 어떤 가정이 필요합니까?
합동 분산은 ��산의 동질성(동분산성), 즉 모든 그룹이 동일한 분산을 갖는 모집단에서 나온다고 가정합니다. 이 가정이 위반되면 통합 추정치를 신뢰할 수 없게 됩니다. Levene의 검정, Bartlett의 검정 또는 균등분산 검정을 사용하여 이 가정을 테스트합니다. 분산이 동일하지 않으면 합동 t-검정 대신 Welch의 t-검정을 사용하십시오.
두 개 이상의 그룹에서 차이를 통합할 수 있나요?
예. k 그룹의 일반 공식은 sp² = Σ[(nᵢ−1)·sᵢ²] / Σ(nᵢ−1)입니다. 이는 각 그룹의 분산이 자유도(nᵢ−1)에 따라 가중되는 가중 평균입니다. 이것이 바로 ANOVA가 MSW(Mean Square Within)로 사용하는 것입니다. 즉, 모든 그룹에 걸친 통합된 분산 추정치입니다.