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Varianza Campionaria (s²)
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Conteggio (n)
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What Is a Pooled Variance Tool?
A pooled variance calculator combines the variances of two or more independent samples into a single weighted estimate, assuming that the underlying populations share the same variance (homoscedasticity). The pooled variance weights each group's variance by its degrees of freedom (nᵢ − 1), giving more influence to larger samples. This combined estimate is essential in two-sample t-tests, analysis of variance (ANOVA), and meta-analyses where data from multiple independent groups or studies must be merged into one coherent measure of spread.
Formula
Pooled variance uses degrees-of-freedom weighting to combine group variances.
Pooled Variance (Two Groups)
sp² = [(n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²] / (n₁ + n₂ − 2)
sp²Pooled variance
n₁, n₂Sample sizes of Group 1 and Group 2
s₁², s₂²Sample variances of Group 1 and Group 2
Pooled Variance (k Groups)
sp² = Σ[(nᵢ−1)sᵢ²] / Σ(nᵢ−1)
kNumber of groups
nᵢSample size of group i
sᵢ²Sample variance of group i
How to Calculate Pooled Variance Step by Step
Calculate each group's variance.Find s² for every independent sample.
Note sample sizes.Record n for each group.
Compute weighted sum of squares.Multiply each variance by (nᵢ − 1) and sum: Σ[(nᵢ − 1)sᵢ²].
Sum the degrees of freedom.Add up all (nᵢ − 1) values: Σ(nᵢ − 1).
Divide.sp² = Σ[(nᵢ − 1)sᵢ²] / Σ(nᵢ − 1).
Practical Pooled Variance Examples
1Comparing Two Teaching Methods
Data:Method A (n=12, s²=18) | Method B (n=15, s²=22)
Combine variances from multiple groups effortlessly:
Enter all raw data values from each group into the calculator's input field.
The calculator computes individual group variances and the pooled variance automatically.
Review the step-by-step breakdown showing each group's contribution to the pooled estimate.
Use the pooled variance in your t-test, ANOVA, or meta-analysis calculations.
Benefits of Using a Pooled Variance Calculator
Automates a multi-step calculation that is tedious and error-prone by hand.
Correctly weights by degrees of freedom — a step many students forget.
Supports more than two groups, unlike many simple online tools.
Provides the pooled standard deviation as well, ready for t-test denominators.
Shows individual group statistics alongside the combined result for full transparency.
Where Pooled Variance Is Commonly Used
Hypothesis Testing
The pooled t-test requires a pooled variance estimate to compare two group means.
ANOVA
The Mean Square Within (MSW) in ANOVA is exactly the pooled variance across all treatment groups.
Meta-Analysis
Combining results from multiple independent studies uses pooled variance for a unified effect-size estimate.
Clinical Trials
Comparing treatment vs control group outcomes under the assumption of equal variance.
Education Research
Evaluating whether different teaching methods produce different average outcomes.
Assumptions and Limitations of Pooled Variance
Pooled variance is powerful but relies on assumptions. Violating them can invalidate your analysis:
Homogeneity of variances required
If group variances differ substantially (heteroscedasticity), the pooled estimate is unreliable. Test with Levene's test or Bartlett's test before pooling.
Independent samples only
Pooled variance assumes groups are independent. If the same subjects appear in multiple groups (repeated measures), use paired analyses instead.
Sensitive to unequal sample sizes
When one group is much larger, it dominates the pooled estimate. This can mask important differences in the smaller group's variability.
Not suitable for very different means
If group means are far apart, the between-group differences can inflate the overall error estimate. ANOVA handles this by separating between- and within-group variance.
Alternative when assumptions fail
Use Welch's t-test instead — it does not assume equal variances and adjusts degrees of freedom accordingly.
{"standard-deviation-calculator":{"title":"Deviazione standard Calcolatrice","desc":"Calcola istantaneamente la deviazione standard con soluzioni dettagliate. Inserisci il tuo set di dati e ottieni la DS della popolazione (σ), la DS del campione (s), la varianza, la media e altro ancora. Gratuito, veloce e preciso."},"mean-calculator":{"title":"Significare Calcolatrice","desc":"Calcola istantaneamente la media (media) di qualsiasi set di dati. Ottieni la media aritmetica, insieme a varianza, deviazione standard, mediana e altro ancora. Soluzioni gratuite e passo dopo passo."},"coefficient-of-variation-calculator":{"title":"Coefficiente di variazione Calcolatrice","desc":"Calcola istantaneamente il coefficiente di variazione (CV). Confronta la variabilità relativa tra set di dati con unità o scale diverse. Soluzioni gratuite passo passo con varianza e deviazione standard."},"variance-solver":{"title":"Varianza Risolutore","desc":"Risolvi istantaneamente i problemi di varianza con soluzioni dettagliate passo dopo passo. Inserisci il tuo set di dati e ottieni la varianza del campione, la varianza della popolazione, la deviazione standard e la media. Risolutore di varianze online gratuito."},"sample-variance-calculator":{"title":"Varianza campionaria Calcolatrice","desc":"Calcola istantaneamente la varianza del campione (s²) con soluzioni dettagliate. Utilizza la correzione di Bessel (n−1) per una stima imparziale. Ottieni deviazione standard, media e altro ancora. Gratuito e preciso."},"variance-finder":{"title":"Varianza Trova","desc":"Trova istantaneamente la varianza di qualsiasi set di dati. Inserisci i numeri e ottieni la varianza del campione e della popolazione, la deviazione standard, la media e le soluzioni passo passo. Strumento online gratuito per la ricerca della varianza."},"population-variance-calculator":{"title":"Varianza della popolazione Calcolatrice","desc":"Calcola istantaneamente la varianza della popolazione (σ²) con soluzioni dettagliate. Divide per N per ottenere la varianza esatta quando hai l'intera popolazione. Calcolatore online gratuito della varianza della popolazione."},"poker-variance-calculator":{"title":"Varianza del poker Calcolatrice","desc":"Calcola la varianza del poker e comprendi i risultati attesi su qualsiasi numero di mani. Analizza la varianza del tasso di vincita, la probabilità di downswing e la deviazione standard nel poker. Strumento gratuito."},"coefficient-of-variance-calculator":{"title":"Coefficiente di varianza Calcolatrice","desc":"Calcola istantaneamente il coefficiente di varianza (CV). Misurare la variabilità relativa come percentuale della media. Ottieni CV, deviazione standard, varianza e soluzioni dettagliate. Strumento online gratuito."},"percentage-variance-calculator":{"title":"Varianza percentuale Calcolatrice","desc":"Calcolare la varianza percentuale tra i valori o esprimere la varianza come percentuale della media. Ottieni coefficiente di variazione, varianza, deviazione standard e soluzioni passo passo. Strumento gratuito."},"percent-variance-calculator":{"title":"Varianza percentuale Calcolatrice","desc":"Calcola istantaneamente la varianza percentuale del tuo set di dati. Esprimere la variabilità dei dati come percentuale utilizzando il coefficiente di variazione. Ottieni soluzioni di varianza, deviazione standard, media e passo passo."},"pooled-variance-calculator":{"title":"Varianza aggregata Calcolatrice","desc":"Calcola la varianza aggregata da più gruppi o campioni. Combine sample variances for two-sample t-tests, ANOVA, and meta-analysis. Calcolatore online gratuito della varianza aggregata con soluzioni dettagliate."},"standard-deviation-and-variance-calculator":{"title":"Deviazione standard e varianza Calcolatrice","desc":"Calcola istantaneamente sia la deviazione standard che la varianza. Ottieni misure di popolazione e campioni con soluzioni dettagliate, media, intervallo e visualizzazione dei dati. Gratuito, veloce e preciso."}}
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La varianza raggruppata è una media ponderata delle varianze di due o più campioni indipendenti. Si presuppone che le popolazioni abbiano varianze uguali (omoschedasticità). La formula per due gruppi è: sp² = [(n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²] / (n₁ + n₂ − 2). Dà più peso ai campioni più grandi e viene utilizzato come stima della varianza nei test t aggregati.
Quando si utilizza la varianza aggregata?
La varianza raggruppata viene utilizzata quando: 1. Si esegue un t-test a due campioni (assumendo varianze uguali). 2. Conduzione di ANOVA per confrontare le medie tra più gruppi. 3.Combinazione dei risultati di più studi (meta-analisi). 4. Stima di una varianza comune quando si ritiene che i gruppi provengano da popolazioni con la stessa diffusione. Verificare sempre prima l'ipotesi di equa varianza utilizzando il test di Levene o un test F.
Come calcolare la varianza aggregata passo dopo passo?
Per due gruppi: 1. Calcola la varianza di ciascun gruppo (s₁² e s₂²). 2. Prendi nota delle dimensioni del campione (n₁ e n₂). 3. Calcola: sp² = [(n₁−1)·s₁² + (n₂−1)·s₂²] / (n₁ + n₂ − 2). Esempio: Gruppo 1 (n=10, s²=8), Gruppo 2 (n=15, s²=12): sp² = [(9)(8) + (14)(12)] / 23 = (72 + 168) / 23 = 10,43.
Qual è la differenza tra varianza aggregata e varianza combinata?
La varianza aggregata presuppone varianze e pesi della popolazione uguali per gradi di libertà, utilizzati nei test di ipotesi. Varianza combinata è un termine più ampio per indicare l'unione di set di dati che possono tenere conto delle differenze sia nelle medie che nelle varianze tra i gruppi. Per combinare due set di dati in uno solo, è necessario tenere conto anche della differenza tra le medie dei gruppi, non solo della varianza all'interno del gruppo.
Quale presupposto richiede la varianza aggregata?
La varianza aggregata presuppone omogeneità delle varianze (omoschedasticità): che tutti i gruppi provengano da popolazioni con la stessa varianza. Se questo presupposto viene violato, la stima aggregata non è affidabile. Verifica questa ipotesi con il test di Levene, il test di Bartlett o il test F per l'uguaglianza delle varianze. Se le varianze non sono uguali, utilizzare il test t di Welch invece del test t raggruppato.
Posso raggruppare le varianze di più di due gruppi?
Sì. La formula generale per k gruppi è: sp² = Σ[(nᵢ−1)·sᵢ²] / Σ(nᵢ−1). Si tratta di una media ponderata in cui la varianza di ciascun gruppo è ponderata in base ai suoi gradi di libertà (nᵢ−1). Questo è esattamente ciò che ANOVA utilizza come Mean Square Within (MSW): la stima aggregata della varianza tra tutti i gruppi.